Evolutionsgleichungen im Sommersemester 2017

Vorlesung:

• Montag 10–12 Uhr, He18 Raum E.60
• Mittwoch 8–10 Uhr, He18 Raum E.60

Übung:

• Freitag, 12–14 Uhr, He18 Raum E.60

Evolutionsgleichungen beschreiben ein System in Abhängigkeit der Zeit. Diesen liegt nicht nur eine sehr schöne, reiche und elegante Theorie zugrunde, sondern sie sind auch für die Behandlung vieler praktischer Probleme unerlässlich. Einige Beispiele sind hier aufgelistet:

• Stochastik bzw. Finanzmathematik (z.B. Konstruktion von Feller-Prozessen wie Brownsche Bewegungen in beschränkten Gebieten, Verhalten von ortsgebundenen Erwartungswerten von Feller-Prozessen, stochastische Differentialgleichungen)
• Analysis Partielle Differentialgleichungen (z.B. Diffusionsgleichung und weitere Anfangsrandwertprobleme)
• Numerik Partieller Differentialgleichungen (z.B. Konvergenz und Konvergenzgeschwindigkeit der Finite-Differenzen-Methode)
• Physik (z.B. Wärmeausbreitung, Schrödingergleichung)
• Biologie (z.B. Ausbreitung von Bakterien, Wachstumsverhalten)

Wir beginnen in der Vorlesung mit der Theorie der linearen Evolutionsgleichungen, was uns zur Theorie der Operatorhalbgruppen führt. Diese beschreiben Lösungen eines Anfangswertproblems der Form $u'(t)=Au(t)$ mit $u(0)=x$ für eine lineare Abbildung $A$, also eine autonome homogene gewöhnliche Differentialgleichung.

Ist $A$ eine lineare Abbildung von $\mathbb{R}^d$ nach $\mathbb{R}^d$, so ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch die Exponentialfunktion, d.h. es ist $u(t)=e^{tA}x$. 

Man nennt die Familie $(e^{tA})_{t\ge0}$ die von $A$ erzeugte Halbgruppe. Ziel der Vorlesung ist es, allgemeine Operatorhalbgruppen, d.h. allgemeine Exponentialfunktionen zu untersuchen (ein Beispiel findet sich hier).

Wir werden eine systematische Einführung in die Theorie der Halbgruppen geben und aus jedem der folgenden Themenkreise die wichtigsten und schönsten Ergebnisse erläutern.

1. Charakterisierung (Satz von Hille-Yosida)
2. Spektraltheorie
3. Störungstheorie
4. Semilineare Probleme

Die Manuskripte zur Vorlesung finden sich hier:

• Vorlesung
• Übungen
• Vorlesung und Übungen
• Vorlesung 1
• Vorlesung 2
• Vorlesung 3
• Vorlesung 4
• Vorlesung 5
• Vorlesung 6
• Vorlesung 7
• Vorlesung 8
• Vorlesung 9
• Vorlesung 10
• Lemma 11.4
• Vorlesung 11
• Vorlesung 12
• Vorlesung 13
• Vorlesung 14
• Vorlesung 15
• Vorlesung 16
• Vorlesung 17 (aktualisiert am 31.07.)
  
• Vorlesungen 18 und 19
• Vorlesungen 20 und 21
• Vorlesung 22
• Vorlesung 23
• Vorlesung 24
• Vorlesung 25
• Vorlesung 26
• Vorlesung 27

Grundvorlesungen in Analysis und Linearer Algebra oder vergleichbare Vorlesungen sind Voraussetzung, sowie eine Vertrautheit mit dem Begriff des Banachraumes und beschränkten linearen Abbildungen.

Es wäre hilfreich, aber nicht notwendig, wenn man eine Anfängervorlesung zur Funktionalanalysis (etwa Elemente der Funktionalanalysis, oder Hilberträume und Fouriertransformation) gehört hat.

Die Vorlesung richtet sich an Studierende der Master-Studiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik und mathematische Biometrie. Die Vorlesung gibt bei bestandener Prüfung 9 ECTS-Punkte.

Die Prüfung wird in mündlicher Form stattfinden. Voraussetzungen zur Teilnahme an der Prüfung ist das Erreichen von 50% der Übungspunkte. 

Für die mündliche Prüfung müssen Sie sich wie gewöhnlich im LSF-QISPOS anmelden. Anschließend machen Sie einen Termin für die mündliche Prüfung aus.

Informationen zum Übungsbetrieb und Übungsblätter gibt es zukünftig hier.

• Übungsblatt 1
• Übungsblatt 2
• Übungsblatt 3
• Übungsblatt 4
• Übungsblatt 5
• Übungsblatt 6
• Übungsblatt 7
• Übungsblatt 8
• Übungsblatt 9
• Übungsblatt 10
• Übungsblatt 11
• Übungsblatt 12
• Übungsblatt 13

English versions:

• Exercise Sheet 2
• Exercise Sheet 3
• Exercise Sheet 4
• Exercise Sheet 5
• Exercise Sheet 6
• Exercise Sheet 7
• Exercise Sheet 8
• Exercise Sheet 9
• Exercise Sheet 10

• Amnon Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, 1992.
• Dan Henry, Geometric Theory of Semilinear Parapolic Equations, Springer, 2009.
• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer, 2000 (pdf-Version kann hier heruntergeladen werden)
• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel, A Short Course on Operator Semigroups, Springer, 2006. (pdf-Version kann hier heruntergeladen werden)
• Wolfgang Arendt, Heat Kernels, Skript zum Internetseminar 2005/2006 (pdf-Version kann hier heruntergeladen werden)

Die Bücher finden sich auch im Semesterapparat.