Veranstalter:

Prof. Dr. Markus Pauly und Dr. Dennis Dobler

Bei Interesse wenden Sie sich bitte an:

 Dr. Dennis Dobler (per Email)

Erstes Treffen und Themenvergabe:

Eine Vorbesprechung findet kurz vor Beginn des Sommersemesters nach Absprache statt.

Art der Durchführung:

Das Seminar wird nach Absprache im Blockformat stattfinden; vermutlich während eines ganzen Wochenendes (z.B im Mai).

Zielgruppe:

Studenten der Mathematik, der Mathematischen Biometrie, sowie der Wirtschaftsmathematik.

Das Seminar richtet sich dabei mehr an Bachelor-Studenten; wir bieten aber auch einzelne Themen mit etwas höherem Schwierigkeitsgrad für Master-Studenten an.

Teilnehmerzahl:

Geplant sind 14 Teilnehmer.

 

Voraussetzungen:

Voraussetzungen: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Beschreibung:

Markov-Ketten sind wichtige Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, die in vielfältiger Art und Weise zur Modellierung natürlicher Vorgänge Verwendung finden. Grob gesprochen ist eine (diskrete) Markov Kette eine Folge von Zufallsvariablen X_n, mit n aus den natürlichen Zahlen, mit der speziellen Eigenschaft, dass die zukünfitge Entwicklung der Folge nur vom aktuellen Zustand abhängt.

Anwendungen finden diese u.a. in der Überlebenszeitanalyse, Populationsgenetik und Numerik (Monte-Carlo-Methoden) aber auch schon zur Beantwortung der einfachen Frage, wie oft ein Kartenstapel gemischt werden muss, damit er annähernd als "gemischt" gilt.

Wichtige Themen umfassen hierbei zunächst Langzeitverhalten von Übergangswahrscheinlichkeiten, die starke Markov-Eigenschaft, Sätze über Mischzeiten, der Ergodensatz, Rekurrenz und Transienz von Zuständen, sowie die Beziehung zu Martingalen.

Dieses Seminar soll einen Einstieg in das weit entwickelte Themengebiet der Markov-Ketten ermöglichen. Zunächst werden die wichtigsten grundlegenden Definitionen und fundamentalen Theoreme eingeführt, dann können differenzierte Vorträge angeschlossen werden. Abhängig von der Teilnehmerzahl können wir am Ende des Seminars eine Erweiterung auf zeitstetige Markov-Prozesse behandeln, sowie verschiedene Anwendungsmöglichkeiten aufzeigen.

Literatur:

Georgii, H. O. (2015). Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Walter de Gruyter GmbH & Co KG.

Kirkwood, J. R. (2015). Markov Processes. CRC Press.

Levin, D. A., Peres, Y., & Wilmer, E. L. (2009). Markov chains and mixing times. American Mathematical Society.

Norris, J. R. (1998). Markov chains (No. 2). Cambridge university press.