Elemente der Funktionalanalysis

• Bitte melden Sie sich, falls Sie die Vorlesung prüfen lassen möchten, im Hochschulportal für die Vorleistung an.
• Das Übungsblatt 13, welches Sie bis zum Mittwoch, 13.07.2016, bearbeiten können, wird wegen des Semesterendes nicht mehr eingesammelt und korrigiert. Es wird aber natürlich trotzdem ein Lösungsvorschlag am Mittwoch, 13.07.20116, in der Übung vorgestellt.

• Vorlesung: montags, 10:15 - 12:00 Uhr, Helmholtzstraße 18, Raum 220
• Übung: mittwochs, 12:15 - 13:00 Uhr, Helmholtzstraße 18, Raum 220

Im Laufe Ihres Studiums hatten Sie bereits häufig mit Gleichungen zu tun, deren Lösung eine reelle oder komplexe Zahl, oder auch ein Tupel von Zahlen, ist.

In vielen Anwendungen treten jedoch Gleichungen auf, deren Lösung keine Zahl, sondern eine Funktion oder eine Zahlenfolge ist. Wichtige Beispiele solcher Gleichungen sind Differential- und Integralgleichungen, die zum Beispiel in der Finanzmathematik, in der Physik, in den Ingenieurswissenschaften und in der Stochastik auftreten. 

Um für solche Gleichungen eine Lösungstheorie zu entwickeln muss man die Struktur der in Frage kommenden Lösungenfunktionen möglichst gut verstehen. Folgende Fragen sind zum Beispiel wichtig:

• Wie kann man den Abstand zweier Funktionen bestimmen?
• Was bedeutet es, dass eine Folge von Funktionen gegen eine andere Funktion konvergiert?
• Was für Abbildungen gibt es, die Funktionen auf Funktionen abbilden und warum sind diese Abbildungen wichtig?
• Was bedeutet es, dass zwei Funktionen senkrecht zueinander stehen?
• Wann ist eine gegebene Gleichung für eine Funktion tatsächlich lösbar, und wie kann man die Lösung berechnen?

Diese und ähnliche Fragen werden in der Funktionalanalysis behandelt. Zum Beispiel führt man den Begriff des "normierten Raumes" ein um die ersten beiden Fragen zu beantworten. Die dritte Frage führt zum Begriff des "linearen Operators", der in zahlreichen Anwendungen auftritt. Die vierte Frage wird beantwortet, indem wir sogenannte "Hilberträume" behandeln, die Sie aus der Linearen Algebra bereits im endlich-dimensionalen Fall kennen. Zur Beantwortung der fünften Frage geben wir eine Einführung in die sogenannte "Spetraltheorie". Diese ist ein mächtiges Werkzeug zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen und Integralgleichungen; zugleich ist sie in der Physik, inbesondere in der Quantenmechanik, von fundamentaler Bedeutung.

Neben einer Einführung in die wichtigsten Konzepte der Funktionalanalysis werden Sie in der Vorlesung und in den Übungen bereits einige Anwendungsbeispiele kennenlernen. Sowohl die Theorie als auch die Anwendungen, die Sie hier lernen, sind wichtig für viele andere Bereiche der Mathematik, zum Beispiel für

• Analysis partieller Differentialgleichungen
• Numerik partieller Differentialgleichungen
• Fourier-Analysis und ihre Verallgemeinerungen (z.B. Wavelets)
• Wahrscheinlichkeitstheorie (z.B. stochastische Prozesse und stochastische Differentialgleichungen)
• Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

Deutschsprachige Literatur:

• Harro Heuser, Funktionalanalysis: Theorie und Anwendungen, Teubner, 1992
• Dirk Werner, Funktionalanalysis, Springer, 2005
• Joachim Weidmann, Lineare Operatoren in Hilberträumen, Teil 1: Grundlagen, Teubner, 2000
• Wolfgang Arendt, Karsten Urban, Partielle Differentialgleichungen, Spektrum Akademischer Verlag, 2010
• Winfried Kaballo, Grundkurs Funktionalanalysis, Spektrum Akademischer Verlag, 2011

Englischsprachige Literatur:

• Peter D. Lax, Functional Analysis, Wiley, 2002
• Markus Haase, Functional Analysis: an elementary introdcution, American Mathematical Society, 2014

Die regelmäßige Bearbeitung von Übungsaufgaben ist enorm wichtig um die Inhalte der Vorlesung verstehen, anwenden und vertiefen zu können.

Es wird jede Woche am Mittwoch ein Übungsblatt mit mehreren Aufgaben auf dieser Internetseite zur Verfügung gestellt. Die von Ihnen bearbeiteten Aufgaben können Sie in der darauf folgenden Woche jeweils vor Beginn der Übung abgeben. Die Aufgaben werden korrigiert und Ihnen in der nächsten Übung zurückgegeben.

Um an der Prüfung am Ende des Semesters teilnehmen zu können, müssen Sie über das Semester gemittelt mindestens 50% der Übungspunkte erzielen.

Blatt 1

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Blatt 10

Blatt 11

Blatt 12

Blatt 13

Um die Inhalte der Vorlesung und der Übungen verstehen zu können benötigen Sie die folgenden Vorkenntnisse:

• Analysis 1 und 2, Lineare Algebra 1 und 2 (oder ähnliche Veranstaltungen wie zum Beispiel Höhere Mathematik für Physiker 1 - 3)
• Maßtheorie

Die Vorlesung richtet sich vorwiegend an Studierende der folgenden Studiengänge:

• Mathematik (Bachelor)
• Wirtschaftsmathematik (Bachelor)
• Mathematische Biometrie (Bachelor)

Auch für Studierende anderer Studiengänge kann die Vorlesung interessant sein, beispielsweise für StudentInnen der Physik. Wenn Sie in einem Studiengang eingeschrieben sind, der nicht in der Liste oben aufgeführt ist, und Sie sich über diese Vorlesung prüfen lassen möchten, informieren Sie sich bitte vorab in Ihrer Prüfungsordnung oder bei Ihrem Prüfungsausschuss, ob dies möglich ist.

Am Ende des Semesters wird eine mündliche Prüfung angeboten.