Räumliche Statistik
Veranstalter
Dozent
Prof. Dr. Volker Schmidt
Übungsleiter
Matthias Neumann
Zeit und Ort
Vorlesung
Di, 8-10 Uhr, He18, E20 und Do, 14-16 Uhr N24, 131
Übung
Mi, 10-12 Uhr, N24, 254
Umfang
4V+2Ü
Leistungspunkte: 9
Voraussetzungen
Die Veranstaltung eignet sich für Studenten mit Vorkenntnissen aus den Vorlesungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik I.
Zielgruppe
Die Vorlesung wendet sich an Master-Studenten, die Spaß daran haben, sich ein über die Pflichtveranstaltungen hinausgehendes Teilgebiet der Stochastik zu erschließen, das eine Vielzahl praktischer Anwendungen ermöglicht. Die Inhalte der Veranstaltung sind so ausgerichtet, dass sich leicht Anknüpfungspunkte zu aktuellen Forschungsprojekten herstellen lassen, die an unserem Institut in Kooperation mit Partnern aus der Wissenschaft, Wirtschaft und der Industrie durchgeführt werden. Der Besuch der Vorlesung ist deshalb eine gute Vorbereitung zur Mitarbeit an diesen Projekten, sei es in Form von Praktika oder einer Master-Arbeit.
Inhalt
Im Fokus dieser Veranstaltung steht die stochastische Modellierung, statistische Analyse und Simulation von Punktmustern im d-dimensionalen euklidischen Raum. Die vorgestellten Techniken eröffnen Anwendungsmöglichkeiten für ein weites Spektrum räumlicher Datensätze. In Zusammenarbeit mit Partnern aus anderen wissenschaftlichen Disziplinen und Wirtschaftsunternehmen wird statistische Punktmusteranalyse allein an unserem Institut zur Zeit auf Fragestellungen aus so unterschiedlichen Bereichen wie Batterie-, Brennstoff- und Solarzellenforschung, Feststoffverfahrenstechnik für poröse und polykristalline Materialien, Biotechnologie, Telekommunikationsnetzwerke und Georisikoforschung angewendet.
Die Vorlesung gibt zunächst eine Einführung in die Theorie zufälliger Punktprozesse. Dabei werden unter anderem Homogentitätseigenschaften wie Stationarität und Isotropie diskutiert. Ferner werden grundlegende Klassen von Punktprozessmodellen, wie Poisson-, Cox- und Gibbs-Prozesse eingeführt. Darauf basierend lassen sich eine Vielzahl struktureller Eigenschaften von Punktmustern wie räumliche Inhomogenitäten oder Anziehungs- bzw. Abstoßungseffekte der Punkte charakterisieren.
Ein weiterer Aspekt der Vorlesung ist das Studium der sogenannten Palmverteilung eines zufälligen Punktprozesses, mit deren Hilfe die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen „aus der Sicht eines zufällig herausgenommenen Punktes“ berechnet werden können. Ein solches Ereignis könnte sein, dass in einer Kugel mit Radius 1 um einen zufällig herausgenommen Punktes kein weiterer Punkt des Punktprozesses liegt.
Darüber hinaus werden Punktmuster thematisiert, die neben den Lokationen der Punkte (zufällige) Markierungen besitzen, die z.B. die Größe, Form und Orientierung eines Partikels an dem jeweiligen Partikelschwerpunkt widerspiegeln können. Mit Hilfe von markierten Punktprozessmodellen lassen sich z.B. Einblicke in die räumliche Korrelationstruktur der Marken und deren zeitliche Veränderungen gewinnen. In dieser Veranstaltung wird das Instrumentarium der Punktprozessstatistik sowohl in seinen mathematischen Grundlagen als auch in seiner praktischen Umsetzung erarbeitet. Auf diese Weise sollen grundlegende Ansätze zur statistischen Analyse räumlicher Daten erlernt werden, die insbesondere aufgrund der anhaltend rasanten Entwicklung im Bereich der bildgebenden Verfahren von zunehmender praktischer Relevanz sind.
Leistungsnachweise und Klausur
Am Ende des Semesters findet eine Klausur über den Stoff der Vorlesung statt.
Die erste Klausur ist am Donnerstag, den 23.7, um 14.30 Uhr in H1.
Die zweite Klausur ist am Freitag, den 25.9, um 10 Uhr in H1.
Zulassungsvoraussetzung ist das Erreichen von 50% der Uebungspunkte
Vorlesungsskript
kann hier heruntergeladen werden.
Übungsblätter
Zur Teilnahme an der Übung ist die Anmeldung im SLC verpflichtend.
Lösungen zu den Programmieraufgaben:
Literatur
[1] Baddeley, A., Bárány, I., Schneider, R., Weil, W. (Hrsg.)
Stochastic Geometry. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1892, Springer, Berlin 2007
[2] Benes, V., Rataj, J.
Stochastic Geometry. Kluwer, Boston 2004
[3] Chiu, S.N., Stoyan, D., Kendall, W.S., Mecke, J.
Stochastic Geometry and its Applications. J. Wiley & Sons, Chichester 2013
[4] Daley, D.J., Vere-Jones, D.An Introduction to the Theory of Point Processes, Vol. I. Springer, New York 2005
[5] Daley, D.J., Vere-Jones, D.
An Introduction to the Theory of Point Processes, Vol. II. Springer, New York 2008
[6] Diggle, P.J.
Statistical Analysis of Spatial Point Patterns. Arnold, London 2003
[7] Gelfand, A. E., Diggle, P. J., Fuentes, M. and Guttorp, P. (Hrsg.)
Handbook of Spatial Statistics. Chapman & Hall / CRC, Boca Raton 2010
[8] Illian, J., Penttinen, A., Stoyan, H., Stoyan, D.
Statistical Analysis and Modelling of Spatial Point Patterns. J. Wiley & Sons, Chichester 2008
[9] Kallenberg, O.
Foundations of Modern Probability. Springer, New York 2001
[10] Kendall, W. S. and Molchanov, I. (Hrsg.)
New Perspectives in Stochastic Geometry. Springer, Berlin 2010
[11] Kingman, J.F.C.
Poisson Processes. Oxford University Press, Oxford 1993
[12] Matheron, G.
Random Sets and Integral Geometry. J. Wiley & Sons, New York 1975
[13] Møller, J., Waagepetersen, R.P.
Statistical Inference and Simulation for Spatial Point Processes. Chapman & Hall / CRC, Boca Raton 2004
[14] Ohser, J. and Schladitz, K.
3D Images of Materials Structures - Processing and Analysis. Wiley-VCH, Weinheim 2009
[15] Ripley, B.D.
Spatial Statistics. J. Wiley & Sons, New York 1981
[16] Schmidt, V. (Hrsg.)
Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields. Lecture Notes in Mathematics, vol. 2120, Springer, Cham 2015.
[17] Schneider, R., Weil, W.
Stochastic and Integral Geometry. Springer, Heidelberg 2008
[18] Spodarev, E. (Hrsg.)
Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields. Lecture Notes in Mathematics, vol. 2068, Springer, Berlin 2013.
[19] Stoyan, D., Stoyan, H.
Fractals, Random Shapes and Point Fields. J. Wiley & Sons, Chichester 1994