Die Vorlesung beschäftigt sich mit den Grundlagen der klassischen Vektoranalysis und der Fourieranalysis und kann als Fortsetzung zur Vorlesung Analysis 2 des letzten Semesters verstanden werden. Diese Vorlesung ist aber auch für höhere Semester aus dem Bachelor geeignet.

Am Anfang befassen wir uns mit reellen Untermannigfaltigkeiten, auf welchen sich mit Hilfe der Zerlegung der Eins eine Integrationstheorie entwickeln lässt. Damit lassen sich die zentralen Integralsätze formulieren und beweisen: der Gauß’sche Integralsatz und der Satz von Stokes. Diese sind durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung motiviert: Die Möglichkeit, das Integral über eine Ableitung durch die Auswertung der Stammfunktion über dem Rand des Integrationsbereiches anzugeben. Diese Sätze haben eine breite Anwendung, ob in der Physik (Elektromagnetismus) oder in der Mathematik (so ist etwa die Verallgemeinerung des Satzes von Stokes mit Hilfe der Differentialgeometrie grundlegend für den Satz von de Rham aus der algebraischen Topologie).

Im zweiten Teil der Vorlesung behandeln wir die klassische Theorie der Fourieranalysis. Dabei werden Funktionen ähnlich wie bei der Entwicklung in Taylorpolynome durch „einfachere“ Funktionen approximiert. Die Basis für diese Entwicklung bilden die trigonometrischen Funktionen, so dass wir geeignete Funktionen als Überlagerungen von Sinus- und Kosinus-Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen darstellen können. Im letzten Teil der Vorlesung wenden wir uns der Untersuchung der Fourier-Transformation zu, der kontinuierlichen Version der Fourierreihen. Nach der Definition, der Invertierbarkeit und ersten Eigenschaften werden wir die Theorie auf das Wärmeleitungsproblem anwenden. Diese Untersuchungen münden in der Theorie der Hilberträume, welche einen zentralen Bestandteil der Funktionalanalysis darstellen.

Die Veranstaltung wendet sich sowohl an Studenten aus den Bachelorstudiengängen Mathematik, Wirtschaftsmathematik und mathematische Biometrie als auch an Lehramtskandidaten.