Funktionalanalysis
"Die Grundidee der Funktionalanalysis ist es, Folgen oder Funktionen als Punkte in einem geeigneten Vektorraum zu interpretieren und Probleme der Analysis durch Abbildungen auf einem solchen Raum zu studieren. Zu nichttrivialen Aussagen kommt man aber erst, wenn man Vektorräume mit einer Norm versieht und analytische Eigenschaften wie Stetigkeit etc. der Abbildungen untersucht." (aus dem Vorwort des Buches von Dirk Werner)
In der Vorlesung werden zunächst die Grundbegriffe von Banachräumen, Hilberträumen und Linearen Operatoren erläutert. Im Mittelpunkt stehen dann die zentralen Sätze dieser Theorie: Der Satz von Hahn-Banach und Lax-Milgram, der Satz von der stetigen Inversen und der Satz vom abgeschlossenen Graphen.
Ferner werden Eigenschaften kompakter Operatoren und reflexiver Räume diskutiert und der Spektralsatz vorgestellt. Anschließend werden wir uns mit Fredholmtheorie beschäftigen.
Dabei werden alle Themen der Vorlesung beispielhaft in verschiedenen Bereichen Anwendung finden, wie etwa Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen und Sobolevräume.
Aktuelles
Zum Bestehen der Vorleistung sind 115 Punkte hinreichend. Vergesst nicht, euch im LSF für die Vorleistung anzumelden.
Mögliche Termine für die mündliche Prüfung sind auf dieser Seite zu finden.
Termine und Räume
Vorlesung
montags, 8-10 Uhr, HeHo18 Raum 220
donnerstags, 8-10 Uhr, H12
Übung
dienstags, 12-14 Uhr, N24/226
Betreuung
Dozentin: Prof. Dr. Anna Dall'Acqua
Übungsleiter: Adrian Spener
Voraussetzungen, Zielgruppe und Prüfungsmodalitäten
Für das erfolgreiche Absolvieren der (4+2)-Veranstaltung gibt es 9 ECTS - Punkte. Die Veranstaltung kann sowohl im Bachelor Mathematik/WiMa/MaBi als auch im Master als Wahlpflichtmodul im Modul Reine Mathematik (Analysis) angerechnet werden.
Sie ist grundlegend für weitere Vorlesungen im Bereich Analysis (vergleiche auch diese Seite), etwa Partielle Differenzialgleichungen, Variationsrechnung, Evolutionsgleichungen oder harmonische Analyse (Fourieranalysis), hat aber auch wichtige Anwendung in so gut wie allen anderen Gebieten, wie etwa der Numerik, der Stochastik, der Finanzmathematik und natürlich der Physik. Selbst ein rudimentäres Verständnis der Funktionalanalysis macht einem in den meisten Anwendungen "das Leben leichter".
Die Veranstaltung "Elemente der Funktionalanalysis" ist KEINE Voraussetzung für diese Veranstaltung.
Die Form der Prüfung wird zu Semesterbeginn bekannt gegeben. Es werden Übungsblätter ausgegeben; und 50% der Gesamtpunkte sind hinreichend zum Bestehen der Vorleistung.
Literatur
Alt; Lineare Funktionalanalysis
Brezis; Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations
Werner; Funktionalanalysis
Yosida; Functional Analysis