Auf dieser Seite befinden sich Themenvorschläge für mögliche Abschlussarbeiten an unserem Institut. Die Vorschläge sind in keiner Form bindend, sondern dienen nur als Anregung oder Orientierungshilfe. Interessenten können sich jeder Zeit bei uns melden, um individuelle Themenvorschläge basierend auf den persönlichen Interessen und Vorkenntnissen zu erhalten. Auch eigene Ideen sind jederzeit willkommen!

Der Satz von Krein-Milman

Betrachtet man eine beschränkte abgeschlossene konvexe Menge in der Ebene, so sieht man, dass sie die konvexe Hülle ihrerer Extrempunkte ist. Der Satz von Krein-Milman besagt, dass diese Aussage für kompakte konvexe Mengen in lokalkonvexen topologischen Vektorräumen gilt. In der Bachelorarbeit sollen die Grundlagen der Theorie der lokalkonvexen topologischen Vektorräume erarbeitet und anschließend der Satz von Krein-Milman bewiesen werden. Abschließend können noch Anwendungen des Satzes präsentiert werden.

Rieszsche Darstellungssätze

In den Elementen der Funktionalanalysis lernt man den Satz von Riesz-Fréchet kennen, der den (Anti-)Dual eines Hilbertraums mit dem Hilbertraum identifiziert. Ähnliche Charakterisierungen existieren für die Dualräume der L^p-Räume (Satz von Riesz) und den Raum der stetigen Funktionen auf einem Kompaktum (der Darstellungssatz von Riesz-Markov). In der Arbeit sollen diese Sätze vorgestellt und bewiesen werden.

Der Spektralsatz für (unbeschränkte) selbstadjungierte Operatoren

In den Elementen der Funktionalanalysis lernt man den Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren kennen. Nach diesem kann ein kompakter selbstadjungierter Operator als Multiplikator bezüglich einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren dargestellt werden. Ist der Operator nicht mehr kompakt, so besitzt dieser nicht mehr notwendigerweise Eigenwerte. Dennoch kann auch für selbstadjungierte, nicht notwendigerweise kompakte Operatoren ein Spektralsatz bewiesen werden. In der Arbeit soll dieser Spektralsatz oder dessen Verallgemeinerung auf unbeschränkte Operatoren vorgestellt werden. Abschließend können einige der zahlreichen Anwendungen des Spektralsatzes, etwa in der Quantenmechanik, vorgestellt werden.

Funktionen von beschränkter Variation

Funktionen von beschränkter Variation spielen eine wichtige Rolle in der Integrationstheorie. Diese sind genau die richtige Klasse von Funktionen, für die das Stieltjes-Integral für alle stetigen Funktionen erklärt werden kann. In der Arbeit sollen die wichtigsten Eigenschaften von Funktionen von beschränkter Variation (etwa lässt sich jede Funktion von beschränkter Variation als die Differenz zweier monotoner Funktionen schreiben) erläutert und die Konstruktion des Lebesgue-Stieltjes Integrals vorgestellt werden.

Funktionalkalkülmethoden

Funktionalkalküle erlauben es systematisch zu erklären, was das Anwenden einer Funktion auf einen Operator bedeutet. Während sich Polynome von Operatoren direkt definieren lassen, treten bei interessanten größeren Klassen von Funktionen, etwa stetigen oder holomorphen Funktionen, interessante mathematische Fragestellungen auf. In der Arbeit sollen Funktionalkalküle, etwa der holomorphe Funktionalkalkül auf Banachalgebren oder der stetige Funktionalkalkül für normale Operatoren, mit Anwendungen vorgestellt werden.

Transfinite Induktion & der Eindeutigkeitssatz von Cantor

Cantor konnte 1870 die damals fundamentale Vermutung zeigen, dass bei einer Fourreihe, die Null ergibt, auch bereits alle Koeffizienten in der Entwicklung Null sind. Allgemeiner beschäftigte er sich damit, welche Ausnahmemengen man zulassen konnte, damit dieses Resultat richtig bleibt. Ausgehend von diesen Fragestellungen entwickelte Cantor Ideen, die schließlich zu dem Konzept von transfiniten Ordinalzahlen und der Methode der transfiniten Induktion, eine "Erweiterung der vollständigen Induktion ins Unendliche", führten. In der Arbeit soll diese Entwicklung dargestellt werden und die Methode der transfiniten Induktion zusammen mit dem Eindeutigkeitssatz von Cantor vorgestellt werden.

Kardinal- & Ordinalzahlen

Kardinalzahlen messen grob gesprochen die Mächtigkeit einer Menge, während Ordinalzahlen zusätzlich die Ordnungsstruktur berücksichtigen. In der Arbeit sollen ausgehend von der historischen Motivation Kardinal- & Ordinalzahlen mathematisch exakt definiert werden (wobei mengentheoretische Probleme auftreten) und deren wichtigste Eigenschaften vorgestellt werden. Die Arbeit kann auf Wunsch durch eine Diskussion der verallgemeinerten Kontinuumshypothese abgerundet werden.

Halbgruppen & Geometrie von Banachräumen

Viele Eigenschaften von Halbgruppen auf Banachräumen hängen von der sogenannten Geometrie des Banachraums, etwa der Reflexivität oder der Struktur der abgeschlossenen Unterräume, ab. In dieser Arbeit sollen die wichtigsten und schönsten Ergebnisse in einer Übersicht dargestellt werden.

Perron-Lösungen

Perron-Lösungen verallgemeinern den klassischen Lösungsbegriff des Dirichletproblems für die Laplace-Gleichung auf einem Gebiet. Perron-Lösungen sind immer harmonisch, konvergieren aber im allgemeinen am Rand nicht gegen die vorgegebene Randfunktion, sondern nur an sogenannten regulären Randpunkten des Gebiets. Es sind einige Charakterisierungen von regulären Punkten bekannt, etwa über Barrieren oder das Wiener-Kriterium. In der Arbeit soll der Begriff der Perron-Lösung erarbeitet und die oben genannten Kriterien mit Beweis vorgestellt werden.

Aussagen aus der Funktionalanalysis, die unabhängig von ZFC sind

Faszinierenderweise ist man in den letzten Jahrzehnten auf einige Aussagen in der Funktionalanalysis gestoßen, die unabhängig von ZFC (Zermelo-Fraenkel Mengenlehre mit dem Auswahlaxiom) sind, etwa die Vermutung von Kaplansky, die besagt, dass jede Algebranorm auf C(X), den stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum, äquivalent zur Norm der gleichmäßigen Konvergenz auf X ist. In der Arbeit sollen eine oder mehrere dieser Aussagen vorgestellt und (teilweise) bewiesen werden.