Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik Sommersemester 2015

• Vorlesung: Di. 16-18 Uhr in N24/131 & Do. 16-18 Uhr in N24/226

Begleitend zur Vorlesung wird ein Skript erstellt. Hierbei handelt es sich um eine vorläufige Version, die parallel zur Veranstaltung zeitverzögert erweitert und überarbeitet wird.

• Vorläufige unvollständige korrekturgelesene Version des Skripts zum mathematischen Teil (Stand 6. Mai)
• Vollständige nicht korrekturgelesene Version des Skripts zum mathematischen Teil
• Vorläufige Version des Skripts zum physikalischen Teil (Stand 21. Juni)

Die Prüfung findet in Form einer mündlichen Prüfung statt. Für Physiker ist für die Zulassung zur Prüfung abgesehen von der regelmäßigen Anwesenheit in der Veranstaltung keine weitere Vorleistung nötig. Mathematiker können die Veranstaltung nur als 4+2 SWS prüfen lassen, wenn sie zusätzlich einen zweistündigen Vortrag über ein ergänzendes Thema halten.

In dieser stark interdisiziplinären Veranstaltungen sollen mathematisch exakt die mathematischen Methoden erarbeitet werden, die zur Beschreibung der klassischen Quantenmechanik benutzt werden.

Einerseits richtet sich die Veranstaltung an Mathematiker, die die physikalischen Grundzüge der Quantenmechanik erlernen wollen und sich für die Anwendungen funktionalanalytischer Methoden in der Physik interessieren. Andererseits richtet sich die Veranstaltung an Physiker, die sich für die Mathematik hinter der Quantenmechanik interessieren, die in den physikalischen Veranstaltungen nur angeschnitten werden kann.

Hierbei wollen wir sowohl auf eine ausführliche Anwendung der erlernten Theorie auf konkrete physikalische Fragestellungen und quantenmechanische Modelle als auch auf eine saubere Darstellung der mathematischen Methoden achten. Die Vorlesungen werden deshalb von den Dozenten abwechselnd gehalten: in der einen Hälfte werden physikalische Anwendungen und Experimente vorgestellt, in der anderen Hälfte wird der dazugehörige mathematische Rahmen erarbeitet.

Konkret wollen wir folgende Themen behandeln:

• Grundlegende quantenmechanische Phänomene
• Die Postulate der klassischen Quantenmechanik
• Hilberträume & Zustände in der Quantenmechanik
• Sobolevräume und Fouriertransformation
• Beschränkte und unbeschränkte Operatoren auf Hilberträumen
• Schrödingeroperatoren
• Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren & der quantenmechanische Messprozess
• Die Zeitevolution in der Quantenmechanik (Schrödinger-Gleichung) & unitäre Gruppen auf Hilberträumen
• Distributionentheorie

Notwendig sind die Inhalte der Grundvorlesungen in Analysis und Linearer Algebra, etwa in Form der Veranstaltungen Analysis I/II und Linearer Algebra I für Mathematiker oder Höhere Mathematik I-III für Physiker oder anderer Studiengänge.

Zusätzlich hilfreich, wenn auch nicht notwendig, sind die Inhalte der Veranstaltungen

• Gewöhnliche Differenzialgleichungen
• Maßtheorie (für Mathematiker)
• Theorie der Hilberträume, etwa im Rahmen der Veranstaltungen Elemente der Funktionalanalysis oder Hilberträume & Fouriertransformation (für Mathematiker)
• Quantenmechanik (für Physiker)

Kenntnisse dieser Veranstaltungen werden nicht erwartet und werden in den Vorlesungen bereitgestellt, ein erster Kontakt mit einigen der obigen Themen wäre aber sicherlich von Vorteil.

Die Literatur ist teilweise im Semesterapparat einsehbar.

• Robert Denk: Vorlesungsskript Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik
• Brian C. Hall: Quantum Theory for Mathematicians
• Leon. A. Takhtajan: Quantum Mechanics for Mathematicians
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics - With Applications to Schrödinger Operators

Die Vorlesung ist in der Mathematik und Physik folgendermaßen zugeordnet.

• Mathematik: Master, Bereich Reine Mathematik
• Physik: Master, Wahlpflichtmodul

Die Veranstaltung kann im Master Mathematik auch als Nebenfachveranstaltung gehört werden. Sie kann in der Mathematik als 4+2 SWS Veranstaltung (hierzu muss jedoch ein zusätzlicher Vortrag als Prüfungsvoraussetzung gehalten werden) und in der Physik als zweistündige Veranstaltung mit beschränktem Stoffumfang geprüft werden.