Dynamische Systeme im Wintersemester 2023/24

Dies ist die Homepage der Vorlesung Dynamische Systeme im Wintersemester 2023/24. 

Der Kurs findet in einem gemischten Format statt. Die Teilnehmenden erarbeiten sich selbstständig den Stoff anhand des Skriptes. In regelmäßigen Abständen (alle 2 bis 3 Wochen) findet eine Präsenzveranstaltung zum Vorlesungstermin statt. Hier wird dann über den aktuellen Stoff gesprochen. Insbesondere können Fragen gestellt werden; schwierigere Themen werden noch einmal vom Dozenten erörtert. Jede Woche gibt es ein Übungsblatt mit schriftlich zu bearbeitenden Aufgaben. Es findet jede Woche eine Übung in Präsenz statt. Die Prüfung ist mündlich.

Eine Anmeldung im Moodle-Kurs ist erforderlich.  Dort werden das Skript und die aktuellen Übungsblätter zur Verfügung gestellt und aktuelle Informationen zum Vorlesungsbetrieb und den Präsenzterminen veröffentlicht. Bei Fragen wenden Sie sich bitte an Prof. Dr. Rico Zacher oder Leonie Langer.

Viele zeitabhängige Prozesse in Natur und Technik können mit Hilfe von gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden; dies sind Gleichungen, die einen Zusammenhang zwischen einer zeitabhängigen Größe und ihrer zeitlichen Änderung (= Ableitung) herstellen. In diesem Kurs können Sie Ihre Kenntnisse vertiefen, die Sie in der Vorlesung "Gewöhnliche Differentialgleichungen" erworben haben. Der Schwerpunkt liegt hierbei nicht auf der expliziten Berechnung der Lösungen, sondern auf der Analyse ihrer qualitativen Eigenschaften. Zum Beispiel werden folgende Themen in der Vorlesung behandelt:

• Langzeitverhalten von Lösungen (z.B. Konvergenz gegen Gleichgewichtspunkte und Stabilität)
• Invarianz von konvexen Mengen
• ebene autonome Systeme (Satz von Poincaré-Bendixson)
• Einführung in die Verzweigungstheorie und Chaos

In der Vorlesung und vor allem in den Übungen wird eine Vielzahl von Anwendungen der Theorie auf konkrete Probleme aus Naturwissenschaften und anderen Bereichen besprochen. Beispiele für solche Anwendungen sind:

• Biologie: Modellierung von Räuber-Beute-Systemen; Ausbreitung von Epidemien in Populationen; Virus-Infektion eines Organismus und Immun-Antwort.
• Physik: Modellierung von elektrischen Schaltkreisen; Bewegungsgleichungen in der klassischen Mechanik.
• Chemie: Zeitliche Entwicklung chemischer Reaktionen.
• Wirtschaftswissenschaften: Deterministische Modelle für die Entwicklung volkswirtschaftlicher Größen.

• J. Prüss, M. Wilke: Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Birkhäuser 2010
• M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney: Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Academic Press
• G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (digitale Version)
• J. Prüss, R. Schnaubelt, R. Zacher: Mathematische Modelle in der Biologie. Deterministische homogene Systeme, Birkhäuser 2008

• Die Vorlesung richtet sich vorwiegend an Studierende der Bachelor-Studiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik und Mathematische Biometrie.
• Auch für Studenten anderer Studiengänge kann die Vorlesung sehr interessant sein, sofern sie über die benötigten Vorkenntnisse verfügen. In diesem Fall informieren Sie sich bitte vorab in Ihrer Prüfungsordnung oder bei Ihrem Prüfungsausschuss darüber, ob Sie diese Vorlesung in Ihrem Haupt- oder Nebenfach anrechnen lassen können und wieviele ECTS-Punkte Sie hierfür erhalten.

• Grundvorlesungen in Mathematik ("Analysis 1, 2" und "Lineare Algebra 1") und die Vorlesung "Gewöhnliche Differentialgleichungen"
• Alternativ: Grundlagenvorlesungen über Mathematik, die für andere Studiengänge angeboten werden (zum Beispiel "Höhere Mathematik 1-3" für Physiker)

Am Ende der Vorlesung wird es mündliche Prüfungen geben. Um an den Prüfungen teilzunehmen ist eine bestandene Vorleistung notwendig. Zum Bestehen der Vorleistung werden 50% der Übungspunkte benötigt.