Maßtheorie im Wintersemester 2021/22

Das Integral stetiger Funktionen, das Sie in der Analysis 1 und 2 kennengelernt haben, ist ein Integralbegriff, der sehr anschaulich ist und sich mit wenig technischem Aufwand einführen lässt. In vielen mathematischen Teilgebieten stellte sich jedoch heraus, dass dieser konventionelle Integralbegriff nicht allgemein genug ist, um zahlreiche wichtige Phänomene zu beschreiben.

Im Zentrum dieser Vorlesung steht die Entwicklung des Lebesgue-Integrals, das in vielerlei Hinsicht schönere strukturelle Eigenschaften besitzt. Hierfür wird als erstes der Begriff des Maßraums eingeführt, welcher den anschaulichen Begriff der "Inhaltsmessung" axiomatisiert.  Anschließend wird dazu eine allgemeine Integrationstheorie entwickelt. Genauer werden in der Vorlesung folgende Themen behandelt:

• Maßräume und der Begriff der Messbarkeit
• Konstruktion von Maßen und das Lebesgue-Maß
• Integration über Maßräumen
• Grenzwertsätze für das Lebesgue-Integral: Satz von der monotonen und majorisierten Konvergenz
• Der Satz von Fubini

Die Theorie der Maße und des Lebesgue-Integrals wird im Laufe Ihres weiteren Studiums eine große Rolle spielen, weil sie zum Beispiel grundlegend für die folgenden Gebiete ist:

• Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
• Finanzmathematik
• Analysis und Numerik partieller Differentialgleichungen
• Funktionalanalysis
• Harmonische Analysis
• Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

• Bauer, H.: Maß- und Integrationstheorie, de Gruyter, 1992
• Royden, H.L.: Real Analysis, Macmillan, 1988
• Rudin, W.: Reelle und komplexe Analysis, Oldenbourg, 2009
• Elstrodt, J.: Maß- und Integrationstheorie, Springer, 2005

Die Vorlesung ist eine Pflichtveranstaltung für Studenten einiger mathematischer Studiengänge. Einzelheiten sind in der jeweiligen Prüfungsordnung geregelt.

Grundvorlesungen in Analysis und Linearer Algebra oder vergleichbare Vorlesungen.