Diophantische Gleichungen

Grundinformationen zur Vorlesung

Inhalt

Eine Diophantische Gleichung ist eine Polynomgleichung, deren Koeffizienten ganze oder rationale Zahlen sind. Man interessiert sich für die Lösungen der Gleichung in den ganzen oder rationalen Zahlen. Ein berühmtes Beispiel ist die Fermat-Gleichung

xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Pierre de Fermat behauptete im Jahre 1637, dass diese Gleichung für n>2 keine Lösung (x,y,z) besitzt, für die x,y,z natürliche Zahlen sind. Diese Behauptung ist als Fermats Großer Satz bekannt geworden. Bewiesen wurde der Satz erst 1994 von Andrew Wiles.

Die Vorlesung ist konzipiert als eine Einführung in das sehr weite Feld der Diophantischen Gleichungen. Wir richten uns im Wesentlichen nach dem Skript vom SS 16. Wir werden zunächst einige einfache Klassen solcher Gleichungen mit zahlentheoretischen Methoden behandeln (Pellsche Gleichung, allgemeine quadratische und kubische Gleichungen). Danach werden wir speziellere Techniken einführen und auf konkrete Beispiele anwenden (p-adische Zahlen, diophantische Approximation). Nach und nach werden wir auch die Beziehung zur algebraischen Geometrie herausstellen und ausführlich auf elliptische Kurven eingehen. Den Höhepunkt der Vorlesung bildet der Beweis des Satzes von Mordell-Weil.

Voraussetzungen

Neben den Grundvorlesungen wird die Vorlesung "Elemente der Algebra" vorausgesetzt.

Sprache

Die Vorlesung wird in Englisch gehalten.

Zielgruppe und Prüfungsrelevanz

Die Vorlesung richtet sich in erster Linie an Bachelor-Studierende, die sich für Algebra und Zahlentheorie interessieren und sich in diesen Bereich vertiefen möchten. Im Anschluss an die Vorlesung können Themen für Bachelor- oder Staatsexamensarbeiten vergeben werden.

Bei der Vorlesung »Diophantische Gleichungen« handelt es sich um eine V2Ue1 Vorlesung, welche mit 4.5 LP angerechnet werden kann.

Bachelor

Im Bachelor Mathematik und Wirtschaftsmathematik kann diese Vorlesung als Wahlpflichtmodul Reine Mathematik gewählt werden.

Master

Im Master Mathematik und Wirtschaftsmathematik kann diese Vorlesung nicht angerechnet werden.

Lehramt

In der alten Prüfungsordnung kann diese Vorlesung als Vertiefung Algebra und Zahlentheorie geprüft werden. In der neuen Prüfungsordnung kann die Vorlesung als Wahlmodul eingebracht werden.