Seminarleiter

Prof. Dr. Evgeny Spodarev
Prof. Dr. Volker Schmidt
Jun.-Prof. Dr. Zakhar Kabluchko

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Seminarbetreuer

Wolfgang Karcher
Malte Spiess

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Zeit und Ort

Montag 14-16 Uhr in He E20

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Umfang

2 Semesterwochenstunden

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Voraussetzungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Vorlesungen des Grundstudiums

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Zielgruppe

Studenten der Mathematik, Wirtschaftsmathematik und Mathematischen Biometrie

Wir bieten in diesem Seminar Themen mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad an. Es gibt sowohl für Bachelor-Studenten, die bisher nur Wahrscheinlichkeitsrechnung gehört haben, als auch für Master- und Diplom-Studenten geeignete Vorträge.

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Inhalt

Stabile Verteilungen sind eine große Klasse von Verteilungen, die die Normal- und Cauchy-Verteilung beinhalten und die Schiefe und schwere Tails erlauben. Die allgemeine stabile Verteilung wird durch vier Parameter beschrieben: einen Index der Stabilität, einen Schiefeparameter, einen Skalierungsparameter und einen Lokationsparameter.

Stabile Verteilungen werden als Modell für viele Arten von physikalischen und wirtschaftlichen System benutzt, z.B. Reflektionen eines sich drehenden Spiegels, die eine Cauchy-Verteilung hervorrufen, das Gravitationsfeld von Sternen, das eine Holtsmark-Verteilung hervorruft, u.a. Viele Konzepte im theoretischen und empirischen Finanzwesen, die in den letzten Jahrzenhten entwickelt wurden, einschließlich der klassischen Portfoliotheorie, dem Black-Scholes-Merton Model u.a., basieren auf der Annahme, dass die Anlagen einer Normalverteilung folgen, obwohl seit langem bekannt ist, dass dies nicht der Realität entspricht. Vielmehr haben empirische Beobachtungen gezeigt, dass schwere Tails häufig auftreten. Es wird oft die Auffassung vertreten, dass finanzielle Anlagerenditen das kumulative Ergebnis einer großen Anzahl an Informationsstücken sind, die fast zeitkontinuierlich erscheinen. Deswegen werden sie durch Normalverteilungen modelliert, wobei der zentrale Grenzwertsatz das statistische Argument dafür ist. Zwar werden hierbei Summen einer großen Zahl von i.i.d. Zufallsvariablen betrachtet, die schweren Tails werden jedoch nicht berücksichtigt. Ein möglicher Ausweg wird von Mandelbrot und Fama durch die stabilen Verteilungen als alternatives Modell gegeben. Trotz einer Vielzahl von Verteilungen mit schwerem Tail wie z.B. der t-Verteilung werden stabile Verteilungen benutzt. Der Grund liegt im sogenannten verallgemeinerten zentralen Grenzwertsatz.

Da stabile Verteilungen die schweren Tails und Asymmetrien viel besser berücksichtigen als es nur Gauß'sche Verteilungen tun, passen sie oft sehr gut zu empirischen Daten. Sie sind deswegen besonders wertvolle Modelle für Datensätze, die extreme Ereignisse wie Markteinbrüche oder natürliche Katastrophen beinhalten. Obwohl stabile Verteilungen natürlich nicht universell sind, sind sie aus den oben genannten Gründen ein nützliches Werkzeug für Analysten im Bereich von Versicherungen oder Finance.

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Kriterien zur Erlangung des Seminarscheins

Der Seminarschein wird für einen inhaltlich korrekten, gut strukturierten und verständlich präsentierten Vortrag sowie regelmäßige Anwesenheit vergeben.

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Vortragsthemen

1. Adrian Zimmer: Definitionen und Eigenschaften stabiler Verteilungen (24.10.) pdf
2. Steffen Tittel: Symmetrische α-stabile Zufallsvariablen und Reihenrepräsentation α-stabiler Zufallsvariablen (7.11.) pdf
3. Wei Zhang: Stabile Zufallsvektoren und deren charakteristische Funktion (14.11.) pdf
4. Nadeshda Botschkarewa: Streng stabile, symmetrisch stabile und Sub-Gauß'sche Zufallsvektoren sowie komplexe SαS Zufallsvariablen (21.11.) pdf
5. Stefan Funke: Kovariation und Kovariationsnorm, James-Orthogonalität, Kodifferenz (28.11.) pdf
6. Christian Hirsch: Stabile stochastische Prozesse, Definition stabiler Integrale als stochastische Prozesse, α-stabile zufällige Maße (5.12.) pdf
7. Prof. Dr. Rafal Kulik (University of Ottawa): Stochastic volatility models with long memory: structure and estimation (12.12., im Rahmen des Forschungsseminars des Instituts für Stochastik, <link fileadmin website_uni_ulm mawi.inst.110 aktuelles_und_archiv vortraege kulik__12.12.2011.pdf download>pdf)
8. Yundi Wang: Konstruktive Definition stabiler Integrale und deren Eigenschaften (19.12.) pdf
9. Andreas Stach: Kriging (9.1.) pdf

 

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Literatur 

• Samorodnitsky / Taqqu: Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapman & Hall 1994
• Zolotarev: Modern Theory of Summation of Random Variables, VSP 1997
• Wackernagel: Multivariate Geostatistics, Springer 1998