Elemente der Funktionalanalysis

Dies ist die Homepage der Vorlesung Elemente der Funktionalanalysis, gelesen von <link mawi analysis mitglieder schulz.html _self external-link-new-window>Prof. Dr. Friedmar Schulz im Sommersemester 2018 an der Universität Ulm. Hier werden aktuelle Informationen zum Vorlesungsbetrieb veröffentlicht.
Zur Teilnahme an den Übungen ist eine Anmeldung im Moodle erforderlich. Die Anmeldung im Moodle hat keine prüfungsrelevanten Konsequenzen.

Aktuelles

Die erste Vorlesung wird am Mittwoch den 18. April 2018 stattfinden. Die erste Übung findet in der zweiten Vorlesungswoche am 27. April 2018 statt. Das erste Übungsblatt wird im Laufe der ersten Semesterwoche in Moodle bereitgestellt.

Inhalt

Im Laufe Ihres Studiums hatten Sie bereits häufig mit Gleichungen zu tun, deren Lösung eine reelle oder komplexe Zahl, oder auch ein Tupel von Zahlen, ist.

In vielen Anwendungen treten jedoch Gleichungen auf, deren Lösung keine Zahl, sondern eine Funktion oder eine Zahlenfolge ist. Wichtige Beispiele solcher Gleichungen sind Differential- und Integralgleichungen, die zum Beispiel in der Finanzmathematik, in der Physik, in den Ingenieurswissenschaften und in der Stochastik auftreten.

Um für solche Gleichungen eine Lösungstheorie zu entwickeln muss man die Struktur der in Frage kommenden Lösungsfunktionen möglichst gut verstehen. Folgende Fragen sind zum Beispiel wichtig:

Wie kann man den Abstand zweier Funktionen bestimmen?
Was bedeutet es, dass eine Folge von Funktionen gegen eine andere Funktion konvergiert?
Was für Abbildungen gibt es, die Funktionen auf Funktionen abbilden und warum sind diese Abbildungen wichtig?
Was bedeutet es, dass zwei Funktionen senkrecht zueinander stehen?
Wann ist eine gegebene Gleichung für eine Funktion tatsächlich lösbar, und wie kann man die Lösung berechnen?

Diese und ähnliche Fragen werden in der Funktionalanalysis behandelt. Zum Beispiel führt man den Begriff des "normierten Raumes" ein um die ersten beiden Fragen zu beantworten. Die dritte Frage führt zum Begriff des "linearen Operators", der in zahlreichen Anwendungen auftritt. Die vierte Frage wird beantwortet, indem wir sogenannte "Hilberträume" behandeln, die Sie aus der Linearen Algebra bereits im endlich-dimensionalen Fall kennen. Zur Beantwortung der fünften Frage geben wir eine Einführung in die sogenannte "Spektraltheorie". Diese ist ein mächtiges Werkzeug zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen und Integralgleichungen; zugleich ist sie in der Physik, inbesondere in der Quantenmechanik, von fundamentaler Bedeutung.

Neben einer Einführung in die wichtigsten Konzepte der Funktionalanalysis werden Sie in der Vorlesung und in den Übungen bereits einige Anwendungsbeispiele kennenlernen. Sowohl die Theorie als auch die Anwendungen, die Sie hier lernen, sind wichtig für viele andere Bereiche der Mathematik, zum Beispiel für

Analysis partieller Differentialgleichungen
Numerik partieller Differentialgleichungen
Fourier-Analysis und ihre Verallgemeinerungen (z.B. Wavelets)
Wahrscheinlichkeitstheorie (z.B. stochastische Prozesse und stochastische Differentialgleichungen)
Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

Zielgruppe

Die Vorlesung richtet sich vorwiegend an Studierende der folgenden Studiengänge:

Mathematik (Bachelor)
Wirtschaftsmathematik (Bachelor)
Mathematische Biometrie (Bachelor)

Auch für Studierende anderer Studiengänge kann die Vorlesung interessant sein, beispielsweise für StudentInnen der Physik. Wenn Sie in einem Studiengang eingeschrieben sind, der nicht in der Liste oben aufgeführt ist, und Sie sich über diese Vorlesung prüfen lassen möchten, informieren Sie sich bitte vorab in Ihrer Prüfungsordnung oder bei Ihrem Prüfungsausschuss, ob dies möglich ist.

Empfohlene Vorkenntisse

Um die Inhalte der Vorlesung und der Übungen verstehen zu können, sind folgende Vorkenntnisse empfehlenswert:

Analysis 1 und 2, Lineare Algebra 1 (oder ähnliche Veranstaltungen, wie zum Beispiel Höhere Mathematik für Physiker 1 - 3)
Maßtheorie

Sollten Sie manche dieser Veranstaltungen noch nicht besucht haben, aber trotzdem Interesse daran haben die Elemente der Funktionalanalysis bereits zu hören, so setzen Sie sich am besten vor Beginn der Vorlesung mit dem Übungsleiter Lukas Niebel in Verbindung.

Zulassungsvoraussetzungen für die Klausur

Sie haben die Möglichkeit ihre Lösungen zu den Übungsblättern zur Korrektur abzugeben. Zum Bestehen der Vorleistung werden mindestens 50% der Übungspunkte notwendig und hinreichend sein.

Die Prüfungsleistung wird in Form einer schriftlichen Klausur stattfinden. Um an einer Klausur teilzunehmen, ist eine bestandene Vorleistung notwendig.

Die Termine für die Klausur sind:

1. Klausur - 1. August 2018
2. Klausur - 17. Oktober 2018

Die Klausur ist offen (das bedeutet, dass man die Nachklausur schreiben kann ohne die erste Klausur mitgeschrieben zu haben).

Literatur

Empfehlenswert sind die folgenden Bücher:

Dirk Werner, Funktionalanalysis, Springer, 2005
Winfried Kaballo, Grundkurs Funktionalanalysis, Spektrum Akademischer Verlag, 2011
Markus Haase, Functional Analysis: an elementary introdcution, American Mathematical Society, 2014