Geometrische Analysis

• Analysis I/II
• Maßtheorie
• Elemente der Funktionalanalysis

Bei der Vorlesung handelt es sich um eine fortgeschrittene Vertiefungsveranstaltung im Bereich der reinen Mathematik im Masterstudiengang Mathematik und Wirtschaftsmathematik. Vorkenntnisse in der Funktionalanalysis, der Differentialgeometrie oder den partiellen Differentialgleichungen dürften bisweilen hilfreich sein, werden aber nicht vorausgesetzt. Bei der Maßtheorie werden allerdings solide Vorkenntnisse erwartet.

Für diese Veranstaltung wird eine mündliche Prüfung angeboten. Prüfungsrelevant sind wie üblich der in der Vorlesung und in den Übungsaufgaben behandelte Stoff.

Ich habe eine Übersicht für das prüfungsrelevante Material mit einer Auflistung der wichtigen Sätze und Übungsaufgaben erstellt.

Wir widmen uns in dieser Vorlesung unter anderem folgenden Fragen:

• Sind Lipschitz-stetige Funktion auf R^d immer an vielen Stellen klassisch differenzierbar?
• Gibt es/Wie bekommt man gute Repräsentanten von „Funktionen“ in L^p?
• Das Lebesguemaß gibt praktisch allen Mengen ein sinnvolles Volumen. Aber was ist ein geeigneter Zugang wenn man (möglicherweise irregulären) Mengen ein sinnvolles Oberflächenmaß geben will?
• Für klassisch differenzierbare Funktionen und schöne Gebiete ermöglicht der Divergenzsatz die wichtige partielle Integration. Wie allgemein gilt der Divergenzsatz?
• Für eine glatte Funktion f von Rⁿ nach R^m, welches Maß hat das Bild unter f von denjenigen Punkten, wo die Ableitung von f nicht Rang m hat?
• Gibt es Mengen in R² welche eine positive 1-dimensionale „Länge“ haben, aber in alle Richtungen eine Nullmenge als Schatten werfen?
• Unter allen geschlossenen Jordankurven der Länge 1 in R², welche schließt den größten Flächeninhalt ein? Was ist die entsprechende Fragestellung in höherer Dimension?

Ein erstes zentrales Element dieser Vorlesung wird das Studium feinerer Eigenschaften von Funktionen im Euklidischen R^d aus bestimmten Funktionenklassen sein. Beispielsweise werden wir uns mit dem Lebesgue'schen Differentiationssatz beschäftigen, welcher uns in den L^p Räumen einen ausgezeichneten approximativ stetigen Repräsentanten liefert. Für Lipschitz-stetige Funktionen untersuchen wir Fortsetzungs- und Differenzierbarkeitseigenschaften; hierzu sind der Satz von Rademacher und der Fortsetungssatz von Kirszbraun zu nennen. Eine weitere wichtige Klasse von Funktionen sind die Funktionen beschränkter Variation, die eine natürliche Erweiterung der Sobolevräume und instumental für eine generelle Formulierung des wichtigen Gauß'schen Divergenzsatzes sind.

Dies geht mit dem zweiten zentralen Thema dieser Vorlesung einher: Elementare Aspekte der geometrischen Maßtheorie. Wir werden die Hausdorff-Maße einführen und wesentliche Eigenschaften von Lipschitz-Graphen studieren. Zielsetzung ist die Behandlung des Oberfächenproblems welche auf natürliche Art zum Begriff des Perimeters führt. Ein wesentliches Resultat wird die isoperimetrische Ungleichung sein, welche ein Füllhorn von verschiedensten Anwendungen besitzt.

Die Veranstaltung basiert auf folgender Literatur.

• L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara: Functions of bounded variation and free discontinuity problems, Oxford Mathematical Monographs, 2000.
• V.I. Bogachev: Measure Theory, Volume 1, 2006.
• J. Heinonen: Lectures on Lipschitz analysis, 2004. Vorlesungsskript
• L.C. Evans, R.F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions, Studies in Advance Mathematics, CRC Press, 1992.
• K.J. Falconer: The geometry of factal sets, Cambridge University Press, 1985.
• P. Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces: Fractals and rectifiability, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 1995.
• E.M. Stein, R. Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (Princeton Lectures in Analysis), 2005.
• W.P. Ziemer: Weakly differentiable functions, 1989.

Es gibt einen Semesterapparat.

• Vorlesung: Dienstag 8–10 Uhr: N24, Raum 131
• Übung: Montag 12–13 Uhr: He18, E20