Seminar "Harmonische Analyse" im Sommersemester 2015

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Das Seminar beginnt am 29. April 2015 und findet immer mittwochs im Zeitraum von 10:15 bis 12:00 im Hörsaal H 47.0.501 (Uni West) statt.

Die Grundidee der harmonischen Analyse ist es, eine gegebene Funktion in eine gewichtete Summe bestimmter periodischer Basis-Funktionen zu zerlegen. Ähnlich wie man ein Element eines Vektorraums stets als Linearkombination bestimmter Basis-Vektoren schreiben kann, kann man zum Beispiel versuchen, eine Funktion, die auf einem reellen Intervall definiert ist, als (unendliche) Linearkombination von Sinus- und Kosinus-Funktionen darzustellen. Die Berechnung dieser Darstellung bezeichnet man auch als Fourier-Transformation.

Die harmonische Analyse hat Anwendungen in verschiedensten Gebieten:

• der Klang eines Musik-Instruments setzt sich aus verschiedenen Obertönen zusammen. Mathematisch bedeutet dies, dass die Funktion, die die Schallwelle beschreibt, sich aus Sinus- und Kosinus-Funktionen mit verschiedener Frequenz zusammensetzt.
• in der Telekommunikationstechnik können Signale mit Hilfe harmonischer Analyse untersucht und verarbeitet werden.
• in der Chemie und Biologie werden Materialien mit Hilfe von Spektroskopie untersucht, welche ebenfalls auf der Fourier-Transformation beruht.
• in der Quantenmechanik sind Ort und Impuls eines Teilchens durch eine Fourier-Transformation verknüpft.
• im Ingenieurswesen kann die Reaktion eines Systems auf eine Erschütterung manchmal mit Hilfe einer sogenannten Faltung beschrieben werden. Diese lässt sich besonders leicht analysieren, wenn man eine Fourier-Transformation durchführt.

Grundlage für alle diese Anwendungen ist eine fundierte mathematische Theorie der harmonischen Analyse. Im Seminar sollen diese mathematischen Grundlagen genauer besprochen werden. Zum Beispiel sind Vorträge zu folgenden Themen denkbar:

• Grundlagen von Hilberträumen und die diskrete Fourier-Transformation
• Die kontinuierliche Fourier-Transformation und der Satz von Plancherel
• Faltungen und ihre Interpretation als verschiebungs-invariante lineare Abbildungen
• Das Abtast-Theorem von Nyquist-Shannon, das in der Signalverarbeitung eine wichtige Rolle spielt

Eine detaillierte Liste mit Themenvorschlägen werden wir veröffentlichen, sobald uns eine vollständige Liste mit angemeldeten Teilnehmern vorliegt.

Das Seminar findet während des Sommersemesters 2015 je einmal wöchentlich statt. Jede Seminarsitzung dauert eine Doppelstunde.

Voraussetzung für den Erwerb eines Seminarscheins ist die regelmäßige Teilnahme am Seminar und das Vorbereiten und Halten eines knapp 90-minütigen Vortrags.

Die benötigten Vorkenntnisse hängen vom Vortragsthema und vom Studiengang des jeweiligen Teilnehmers ab:

• Alle Teilnehmer benötigen Kenntnisse in den Grundvorlesungen Analysis I und Lineare Algebra I.
• Für manche (aber nicht für alle) Vortragsthemen werden Kenntnisse in Maßtheorie oder Funktionentheorie benötigt.
• Für Vorträge auf dem Niveau eines Master-Studiums können fortgeschrittenere Kenntisse nützlich sein (beispielsweise Kenntnisse aus der Funktionalanalysis).

Das Seminar richtet sich an Studierende der mathematischen Bachelor- und Master-Studiengänge (Mathematik, Wirtschaftsmathematik, mathematische Biometrie) sowie an Lehramtsstudenten.

Eine Anmeldung für das Seminar war bis zum 13. März 2015 möglich.