Aktuelles

ehemalig Aktuelles

Vorlesung:

• Dienstag, 8-10, Heho 18, 120
• Donnerstag, 14-16, Heho 18, E.60

Übung:

• Mittwoch, 12:15-13:45 (ohne Pause), Heho 18, 120

Evolutionsgleichungen beschreiben ein System in Abhängigkeit der Zeit. Diesen liegt nicht nur eine sehr schöne, reiche und elegante Theorie zugrunde, sondern sie sind auch für die Behandlung vieler praktischer Probleme unerlässlich. Einige Beispiele sind hier aufgelistet:

• Stochastik bzw. Finanzmathematik (z.B. Konstruktion von Feller-Prozessen wie Brownsche Bewegungen in beschränkten Gebieten, Verhalten von ortsgebundenen Erwartungswerten von Feller-Prozessen, stochastische Differentialgleichungen)
• Analysis Partielle Differentialgleichungen (z.B. Diffusionsgleichung und weitere Anfangsrandwertprobleme)
• Numerik Partieller Differentialgleichungen (z.B. Konvergenz und Konvergenzgeschwindigkeit der Finite-Differenzen-Methode)
• Physik (z.B. Wärmeausbreitung, Schrödingergleichung)
• Biologie (z.B. Ausbreitung von Bakterien, Wachstumsverhalten)

Wir beginnen in der Vorlesung mit der Theorie der linearen Evolutionsgleichungen, was uns zur Theorie der Operatorhalbgruppen führt. Diese beschreiben Lösungen eines Anfangswertproblems der Form

für eine lineare Abbildung A, also eine autonome homogene gewöhnliche Differentialgleichung.

Ist A eine lineare Abbildung von  nach , so ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch die Exponentialfunktion, d.h. es ist

Man nennt die Familie 

die von A erzeugte Halbgruppe. Ziel der Vorlesung ist es, allgemeine Operatorhalbgruppen, d.h. allgemeine Exponentialfunktionen zu untersuchen (ein Beispiel findet sich hier).

Wir werden eine systematische Einführung in die Theorie der Halbgruppen geben und aus jedem der folgenden Themenkreise die wichtigsten und schönsten Ergebnisse erläutern.

1. Charakterisierung (Satz von Hille-Yosida)
2. Spektraltheorie
3. Störungstheorie
4. Semilineare Probleme

Grundvorlesungen in Analysis und Linearer Algebra oder vergleichbare Vorlesungen sind Voraussetzung, sowie eine Vertrautheit mit dem Begriff des Banachraumes und beschränkten linearen Abbildungen.

Es wäre hilfreich, aber nicht notwendig, wenn man eine Anfängervorlesung zur Funktionalanalysis (etwa Elemente der Funktionalanalysis, oder Hilberträume und Fouriertransformation) gehört hat.

Die Vorlesung richtet sich an Studierende der Master-Studiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik und mathematische Biometrie. Die Vorlesung gibt bei bestandener Prüfung 9 ECTS-Punkte.

Die Prüfung wird in mündlicher Form stattfinden. Voraussetzungen zur Teilnahme an der Prüfung ist das Erreichen von 50% der Übungspunkte. In der Regel werden dies 20 Punkte pro Blatt sein.

Zur Vorleistung müssen Sie sich nicht anmelden. Diese tragen wir ein, sobald Sie diese erreicht haben.

Für die mündliche Prüfung müssen Sie sich wie gewöhnlich im LSF-QISPOS anmelden. Anschließend machen Sie einen Termin für die mündliche Prüfung aus.

Informationen zum Übungsbetrieb und Übungsblätter finden sich hier.

• Amnon Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, 1992.
• Dan Henry, Geometric Theory of Semilinear Parapolic Equations, Springer, 2009.
• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer, 2000 (pdf-Version kann hier heruntergeladen werden)
• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel, A Short Course on Operator Semigroups, Springer, 2006. (pdf-Version kann hier heruntergeladen werden)
• Wolfgang Arendt, Heat Kernels, Skript zum Internetseminar 2005/2006 (pdf-Version kann hier heruntergeladen werden)

Die Bücher finden sich auch im Semesterapparat.